Le modèle de Wilson permet de déterminer la quantité économique de commande, c’est-à-dire le nombre d’unités à commander à chaque fois pour que le coût total de gestion du stock soit le plus faible possible. Concrètement, il répond à deux questions liées : combien de fois faut-il commander dans l’année (la cadence optimale) et quel volume commander à chaque fois (le lot économique). Le modèle cherche le point d’équilibre entre deux coûts qui évoluent en sens inverse : plus on commande souvent, plus le coût de passation grimpe, mais plus le stock moyen baisse, et donc le coût de possession aussi.
En bref
- Le modèle de Wilson détermine la quantité économique de commande qui minimise le coût total de gestion du stock (coût de passation + coût de possession).
- On calcule d’abord la cadence optimale N* (le nombre de commandes sur la période) avec une racine carrée, puis on en déduit le lot économique Q* = D / N*.
- À l’optimum, le coût de passation des commandes et le coût de possession du stock sont égaux : c’est ce qui rend la quantité « économique ».
Dans cet article, vous trouverez la définition du modèle, ses formules, un pas-à-pas en 4 étapes et un exemple chiffré entièrement corrigé, puis les erreurs à éviter et une FAQ. L’exemple est volontairement construit pour tomber juste, afin d’être reproductible en épreuve, et il est expliqué pas à pas par un formateur en BTS MCO. Pour aller plus loin, des ressources sur la gestion des stocks sont disponibles sur le site.
Sommaire
Le modèle de Wilson : définition et principe
Le modèle de Wilson est un outil de gestion des approvisionnements qui calcule la quantité optimale à commander pour minimiser le coût total de gestion d’un stock. Ce coût total se compose de deux éléments antagonistes. Le coût de passation (ou de lancement) est le coût administratif et logistique de chaque commande : il augmente quand on commande souvent. Le coût de possession est le coût de détention du stock (financement, stockage, assurance, obsolescence) : il augmente quand on commande en grandes quantités, car le stock moyen est alors plus élevé.
Le modèle trouve le compromis entre ces deux forces opposées. Le point optimal correspond exactement au moment où le coût de passation total égale le coût de possession total. C’est à ce point que la quantité commandée est dite « économique ».
Les formules du modèle de Wilson
On commence toujours par la cadence optimale N*, c’est-à-dire le nombre de commandes à passer sur la période. C’est elle qui contient la racine carrée :
- N* = √[ (D × cu × t) / (2 × Cl) ]
Dans cette formule, D est la consommation (ou demande) annuelle en quantité, cu le coût unitaire d’achat, t le taux de possession du stock (en %) et Cl le coût de lancement d’une commande. On en déduit ensuite le lot économique Q*, le stock moyen et la période entre deux commandes :
- Q* = D / N* (le lot économique de commande)
- Stock moyen = Q* / 2
- Période entre deux commandes = 12 / N* (en mois, si D est annuel)
Attention : on ne calcule jamais Q* directement avec une racine carrée. La racine sert à obtenir N*, puis on divise simplement la demande par cette cadence. Procéder dans l’autre sens est l’erreur la plus fréquente.
Appliquer le modèle de Wilson en 4 étapes
- Repérer les quatre données : la demande annuelle D, le coût unitaire d’achat cu, le taux de possession t et le coût de lancement Cl.
- Calculer la cadence optimale N* = √[ (D × cu × t) / (2 × Cl) ].
- En déduire le lot économique Q* = D / N*, puis le stock moyen Q* / 2.
- Déterminer la période entre deux commandes (12 / N* en mois) et vérifier l’optimum : le coût de passation total doit égaler le coût de possession total.
Exemple chiffré corrigé pas à pas
Exemple. Le grossiste Distri’Sud approvisionne des magasins de proximité en boissons. Son responsable logistique veut optimiser le réapprovisionnement d’une référence de sirop très demandée, afin de réduire les coûts liés au stock sans risquer la rupture. Il rassemble les données de gestion suivantes :
| Donnée | Symbole | Valeur |
|---|---|---|
| Demande annuelle | D | 14 400 unités |
| Coût unitaire d’achat | cu | 5 € |
| Taux de possession du stock | t | 16 % (0,16) |
| Coût de lancement d’une commande | Cl | 40 € |
Étape 1 — les données. On dispose bien des quatre paramètres : D = 14 400 unités, cu = 5 €, t = 0,16 et Cl = 40 €.
Étape 2 — la cadence optimale N*. On applique la formule de la racine carrée :
- N* = √[ (14 400 × 5 × 0,16) / (2 × 40) ]
- N* = √[ 11 520 / 80 ] = √144 = 12 commandes par an
Étape 3 — le lot économique Q* et le stock moyen. On divise la demande par la cadence, sans racine carrée :
- Q* = D / N* = 14 400 / 12 = 1 200 unités par commande
- Stock moyen = Q* / 2 = 1 200 / 2 = 600 unités
Étape 4 — la période et la vérification de l’optimum. La période entre deux commandes est de 12 / 12 = 1 mois : Distri’Sud commande une fois par mois. On vérifie enfin que les deux coûts sont bien égaux à l’optimum :
| Coût | Calcul | Montant |
|---|---|---|
| Coût de passation total | N* × Cl = 12 × 40 | 480 € |
| Coût de possession total | (Q* / 2) × cu × t = 600 × 5 × 0,16 | 480 € |
| Coût total de gestion | 480 + 480 | 960 € |
Interprétation : en commandant 1 200 unités tous les mois, Distri’Sud minimise le coût total de gestion de cette référence, qui s’élève à 960 € par an.
L’égalité parfaite entre le coût de passation (480 €) et le coût de possession (480 €) confirme que la quantité trouvée est bien la quantité économique : tout autre rythme de commande ferait remonter le coût total.
Comment interpréter la cadence et le lot économique ?
La cadence optimale et le lot économique sont deux lectures du même résultat. La cadence dit à quelle fréquence agir (ici 12 fois par an), le lot dit combien commander à chaque fois (ici 1 200 unités). Le tableau ci-dessous récapitule les indicateurs du modèle.
| Indicateur | Formule | Ce qu’il signifie |
|---|---|---|
| Cadence optimale N* | √[(D·cu·t)/(2·Cl)] | Nombre de commandes sur la période |
| Lot économique Q* | D / N* | Quantité à commander à chaque fois |
| Stock moyen | Q* / 2 | Niveau moyen de stock détenu |
| Période | 12 / N* (mois) | Délai entre deux commandes |
Astuce : si le coût de lancement Cl augmente, commander coûte plus cher, donc on commande moins souvent (N* baisse) et par lots plus gros (Q* monte). À l’inverse, un taux de possession t élevé pousse à réduire le stock, donc à commander plus fréquemment. Ce raisonnement est utile pour vérifier la cohérence d’un résultat dans la gestion des stocks.
Exercice corrigé
Énoncé
La société Comptoir Atlantique distribue des fournitures de bureau aux entreprises de sa région. Sa responsable des achats souhaite optimiser le réapprovisionnement d’une référence de ramettes de papier qui s’écoule régulièrement tout au long de l’année, afin de limiter les coûts de gestion sans risquer la rupture. Elle réunit les données suivantes :
| Donnée | Symbole | Valeur |
|---|---|---|
| Demande annuelle | D | 7 200 unités |
| Coût unitaire d’achat | cu | 4 € |
| Taux de possession du stock | t | 15 % (0,15) |
| Coût de lancement d’une commande | Cl | 15 € |
Travail à faire : déterminer la cadence optimale, le lot économique, le stock moyen et la période entre deux commandes, puis vérifier l’optimum.
Corrigé
Étape 1 — les données. On dispose des quatre paramètres : D = 7 200 unités, cu = 4 €, t = 0,15 et Cl = 15 €.
Étape 2 — la cadence optimale N*. On calcule d’abord N* avec la racine carrée :
- N* = √[ (7 200 × 4 × 0,15) / (2 × 15) ]
- N* = √[ 4 320 / 30 ] = √144 = 12 commandes par an
Étape 3 — le lot économique Q* et le stock moyen. On divise ensuite la demande par la cadence, sans racine carrée :
- Q* = D / N* = 7 200 / 12 = 600 unités par commande
- Stock moyen = Q* / 2 = 600 / 2 = 300 unités
Étape 4 — la période et la vérification de l’optimum. La période entre deux commandes est de 12 / 12 = 1 mois : Comptoir Atlantique commande une fois par mois. On vérifie que les deux coûts sont bien égaux à l’optimum :
| Coût | Calcul | Montant |
|---|---|---|
| Coût de passation total | N* × Cl = 12 × 15 | 180 € |
| Coût de possession total | (Q* / 2) × cu × t = 300 × 4 × 0,15 | 180 € |
| Coût total de gestion | 180 + 180 | 360 € |
Interprétation : en commandant 600 unités chaque mois (soit 12 commandes par an), Comptoir Atlantique minimise le coût total de gestion de cette référence, qui s’établit à 360 € par an. L’égalité parfaite entre le coût de passation (180 €) et le coût de possession (180 €) confirme que la quantité trouvée est bien la quantité économique de commande : tout autre rythme ferait remonter le coût total.
Erreurs fréquentes
- Calculer Q* directement avec la racine carrée. Dans cette convention, la racine sert à obtenir N*. Le lot économique se déduit ensuite par Q* = D / N*, sans racine.
- Oublier de multiplier par le taux de possession t. Le coût de possession ne porte pas sur le prix d’achat seul : il faut le coût unitaire cu multiplié par le taux t.
- Confondre demande et stock moyen. D est la consommation totale sur la période ; le stock moyen vaut Q* / 2, pas Q*.
- Mélanger les unités de t. Un taux de 16 % se saisit en 0,16 dans la formule, jamais en 16.
- Oublier de vérifier l’optimum. À la bonne quantité, coût de passation et coût de possession sont égaux. S’ils diffèrent, c’est qu’une étape est fausse.
FAQ – Modèle de Wilson
Pour aller plus loin
Pour maîtriser le modèle de Wilson en épreuve, le plus efficace est de s’entraîner sur des cas chiffrés où les données tombent juste.
- Approfondissez la gestion des stocks pour relier le modèle de Wilson au programme d’approvisionnement et au suivi des sorties.
- Replacez ce calcul dans le programme global du BTS MCO, notamment l’épreuve E5 de gestion opérationnelle.
- Refaites l’exemple en changeant une seule donnée (le coût de lancement, par exemple) pour observer comment la cadence et le lot économique évoluent.